четверг, 29 июля 2010 г.

Задача о картине, веревке и гвоздях

Недавно с помощью знакомого откопал, как я понимаю, старую задачу, условие которой формулируется следующим образом: Имеется картина, к которой обоими концами прикреплена длинная веревка. Необходимо повесить её на стене с помощью N гвоздей таким образом, чтобы при удалении любого (одного) гвоздя картина и веревка падали.

Для случая, когда гвоздь всего один, задача решается элементарно.
Будем разбираться, как её решить для 2-ух и более гвоздей. Рассмотрим ситуацию с 2-мя гвоздями. Обозначим их A и B. Введем операции (+) и (-), когда веревка обматывает гвоздь по часовой и, соответственно, против часовой стрелки. Таким образом, A + B означает, что гвозди A и B обмотаны веревкой по часовой стрелке 1 раз (по отдельности или вместе - в данном случае это не играет особой роли).
Также понятно, что A + (-A) = 0, так как мы оборачиваем гвоздь А по часовой стрелке, и тут же снимаем с него веревку против часовой стрелки. Итоговое значение 0 означает, что картину с веревкой ничего не удерживает, и они гарантированно упадут.
Удаление гвоздя будем отмечать заменой соответствующей буквы на число 0 (гвоздь перестает играть роль в процессе удержания картины). Таким образом, для того, чтобы условие задачи выполнялось, необходимо получить такую формулу, когда замена какой-либо одной (любой) буквы, обозначающей гвоздь, приводит всю формулу к нулевому значению.